Hằng đẳng thức (a+b)² là gì?
Bình phương của một tổng được tính bằng hằng đẳng thức (a+b)² = a² + 2ab + b²: bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai. Đây là hằng đẳng thức đáng nhớ đầu tiên trong chương trình lớp 8, nhưng sẽ dễ nhớ hơn nhiều nếu bạn nhìn thấy nó bằng hình.
Ý tưởng: một hình vuông cạnh (a+b)
Hãy vẽ một hình vuông có cạnh bằng (a+b). Diện tích của nó hiển nhiên là (a+b)². Bây giờ kẻ một đường ngang và một đường dọc chia mỗi cạnh thành hai đoạn a và b. Hình vuông lớn bị chia thành 4 mảnh.
- Mảnh góc trên–trái là hình vuông cạnh a → diện tích a².
- Mảnh góc dưới–phải là hình vuông cạnh b → diện tích b².
- Hai mảnh còn lại là hình chữ nhật a × b, giống hệt nhau → mỗi mảnh ab.
- Cộng lại: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
Vì sao có số 2 trong 2ab?
Số 2 không phải tự nhiên mà có — nó đến từ hai hình chữ nhật a×b giống hệt nhau (một nằm trên, một nằm dưới đường chéo của cách chia). Vì cả hai có cùng diện tích ab, cộng lại thành 2ab. Đây chính là chỗ học sinh hay quên khi khai triển.
Vì hai cách tính cùng một diện tích phải bằng nhau, ta có:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Câu hỏi thường gặp
Còn (a−b)² thì sao? Tương tự, (a−b)² = a² − 2ab + b². Lần này ta bỏ bớt phần diện tích thay vì thêm vào.
Có áp dụng cho 3 số không? Có: (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca — cũng chứng minh được bằng cách chia một hình vuông cạnh (a+b+c) thành 9 mảnh.